Question

【題目】一汽車廠生產A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標準型兩種型號，某月的產量如表（單位：輛）：

	轎車A	轎車B	轎車C
舒適型	100	150	z
標準型	300	450	600

按類型分層抽樣的方法在這個月生產的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．
（1）求z的值；
（2）用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個容量為5的樣本．將該樣本看成一個總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；
（3）用隨機抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經檢測它們的得分如下：4、8.6、9.2、9.6、8.7、9.3、9.0、8.2，把這8輛轎車的得分看作一個總體，從中任取一個數，求該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：設該廠這個月共生產轎車n輛，

由題意得 = ，∴n=2000，

∴z=2000﹣（100+300）﹣150﹣450﹣600=400

（2）解：設所抽樣本中有a輛舒適型轎車，

由題意，得a=2．

因此抽取的容量為5的樣本中，

有2輛舒適型轎車，3輛標準型轎車．

用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標準轎車，

用E表示事件“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，

則基本事件空間包含的基本事件有：

（A1，A2），（A1B1），（A1B2），（A1，B3，），（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），

（B1B2），（B1，B3，），（B2，B3），共10個，

事件E包含的基本事件有：（A1A2），（A1，B1，），（A1，B2），（A1，B3），

（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），共7個，

故P（E）= ，即所求概率為

（3）解：樣本平均數 = ×（9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2）=9．

設D表示事件“從樣本中任取一數，該數與樣本平均數之差的絕對不超過0.5”，

則基本事件空間中有8個基本事件，

事件D包括的基本事件有：9.4，8.6，9.2，8.7，9.3，9.0，共6個，

∴P（D）= = ，即所求概率為

【解析】（1）利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，列出方程求出n，再利用頻數等于頻率乘以樣本容量求出n的值，據總的轎車數量求出z的值．（2）先利用分層抽樣滿足每個個體被抽到的概率相等，求出抽取一個容量為5的樣本舒適型轎車的輛數，利用列舉的方法求出至少有1輛舒適型轎車的基本事件，利用古典概型的概率公式求出概率．（3）利用平均數公式求出數據的平均數，通過列舉得到該數與樣本平均數之差的絕對值不超過0.5的數據，利用古典概型的概率公式求出概率．