Question

【題目】已知拋物線C：，點在x軸的正半軸上，過點M的直線l與拋線C相交于A、B兩點，O為坐標原點．

若，且直線l的斜率為1，求證：以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切；

是否存在定點M，使得不論直線l繞點M如何轉動，恒為定值？若存在，請求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)見解析

【解析】

寫出直線AB方程為，與拋物線方程聯立，利用韋達定理與弦長公式計算值，并求出線段AB的中點到準線的距離，證明該距離等于的一半，即可證明結論成立；設直線AB的方程為，并設點、，列出韋達定理，結合弦長公式得出的表達式，根據表達式為定值得出m的值，從而可求出定點M的坐標．

當時，且直線l的斜率為1時，直線l的方程為，設點、，

將直線l的方程代入拋物線C的方程，消去y得，，

由韋達定理可得，，

由弦長公式可得，

線段AB的中點的橫坐標為3，所以，線段AB的中點到拋物線準線的距離為4，

因此，以AB為直徑的圓與拋物線C的準線相切；

設直線l的方程為，設點、，

將直線l的方程代入拋物線方程并化簡得，

由韋達定理可得，，

，同理可得，

所以，為定值，

所以，，即時，恒為定值．

此時，定點M的坐標為．