Question

【題目】已知拋物線的焦點為F，且過點A (2，2)，橢圓的離心率為，點B為拋物線C與橢圓D的一個公共點，且.

(Ⅰ)求橢圓D的方程；

(Ⅱ)過橢圓內一點P(0，t)的直線l的斜率為k，且與橢圓C交于M，N兩點，設直線OM，ON(O為坐標原點)的斜率分別為k1，k2，若對任意k，存在實數λ，使得k1+ k2=λk，求實數λ的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：(Ⅰ)由點A(2，2)在拋物線上，得所以拋物線C的方程為，其焦點F(0， )，設B(m，n)，則由拋物線的定義可得|BF| = ，解得，代入拋物線方程可得m=±,所以B(±,1)，橢圓C的離心率，所以，又點B(±,1)在橢圓上，可得的值即得橢圓D的方程；

(Ⅱ) 設直線l的方程為. 由，消元可得，根據韋達定理得，因為此等式對任意的都成立,所以，即. 由題意得點P(0，t)在橢圓內，故0≤t2<2，即0≤<2可解得實數λ的取值范圍.

試題解析：

(Ⅰ)由點A(2，2)在拋物線上，得，解得

所以拋物線C的方程為，其焦點F(0， )，

設B(m，n)，則由拋物線的定義可得|BF| = ，解得，

代入拋物線方程可得m2=2n = 2,解得m=±,所以B(±,1)，

橢圓C的離心率，所以，

又點B(±,1)在橢圓上，所以，解得，

所以橢圓D的方程為.

(Ⅱ)設直線l的方程為.

由，消元可得，

設M(x1 , y1 ) , N(x2，y2)，則，

而，由，得，

因為此等式對任意的都成立,所以，即.

由題意得點P(0，t)在橢圓內，故0≤t2<2，即0≤<2，解得.