Question

（2013•資陽二模）在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=BC=CA=AA₁=2，側棱AA₁⊥面ABC，D、E分別是棱A₁B₁、AA₁的中點，點F在棱AB上，且AF=

1

4

AB．
（Ⅰ）求證：EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）求二面角E-BC₁-D的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用直線和平面平行的判定定理，只需要證明EF∥BD，即可證明EF∥平面BDC₁；
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用空間向量法求二面角的大小．

解答：解：（Ⅰ）證明：取AB的中點M，
∵AF=

1

4

AB．
∴F為AM的中點，
又QE為AA₁的中點，
∴EF∥A₁M，
在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分別為A₁B₁、AA₁的中點，
∴A₁D∥BM，且A₁D=BM，
則四邊形A₁DBM為平行四邊形，
∴A₁M∥BD，
∴EF∥BD，
又∵BD⊆平面BC₁D，EF?平面BC₁D，
∴EF∥平面BC₁D．
（Ⅱ）連接DM，分別以MB，MC，MD所在直線為x軸、y軸、z軸，
建立如圖空間直角坐標系，
則B（1，0，0），E（-1，0，1），D（0，0，2），C₁（0，

3

，2），
∴

BD

=（-1，0，2），

BE

=（-2，0，1），

BC1

=（-1，

3

，2）．
設面BC₁D的一個法向量為

m

=(x1，y1，z1)，面BC₁E的一個法向量為

n

=(x2，y2，z2)，
則由

m ? BD =0 m ? BC1 =0

，
得

-x1+2z1=0 -x1+ 3 y1+2z1=0

，取

m

=(2，0，1)，
又由

n ? BE =0 n ? BC1 =0

，
得

-2x2+z2=0 -x2+ 3 y2+2z1=0

，取

n

=(1，-

3

，2)，
則cos＜

m

，

n

＞=

m ? n

|m| |n|

=

4

5 ? 8

=

10

5

，
故二面角E-BC₁-D的余弦值為

10

5

．

點評：本題主要考查空間直線和平面平行的判定，以及求二面角的大小，要求熟練掌握相應的判定定理．建立空間直角坐標系，利用向量坐標法是解決此類問題比較簡潔的方法．