Question

已知正項數列{a_n}滿足：a₁=3，（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N^*），設bn=

1

an

，數列{b_n}的前n項的和S_n，則S_n的取值范圍為（　　）

• A．(0，

  1

  2

  )
• B．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• C．(

  1

  3

  ，

  1

  2

  )
• D．[

  1

  3

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

分析：本題通過遞推關系，可以得到

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2，即數列{

an

2n+1

}是以1為首項，2為公差的等差數列，可求

an

2n+1

=

1

2n-1

，

1

an

=

1

(2n-1)(2n+1)

，通過裂項可求s_n=

n

2n+1

，當n=1時，s₁=

1

3

，n→+∞時，s_n→

1

2

．故可以排除A，C，D答案選B．

解答：解：∵（2n-1）a_n+2=（2n+1）a_n-1+8n²（n＞1，n∈N*），
∴（2n-1）a_n-（2n+1）a_n-1=2（4n²-1），
又n＞1，等式兩端同除以4n²-1得：

an

2n+1

-

an-1

2n-1

=2，即數列{

an

2n+1

}是以1為首項，2為公差的等差數列．
∴

an

2n+1

=1+(n-1)×2=2n-1，
∴

1

an

=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

(

1

2n-1

-

1

2n+1

)，
∴s_n=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

)=

n

2n+1

．當n=1時，s1=

1

3

；n→+∞時，sn→

1

2

∴

1

3

≤ sn＜

1

2

，
故答案為B．

點評：本題考查數列的遞推關系與數列極限問題，解題的關鍵是對條件合理轉化，轉化為數列{

an

2n+1

}是以1為首項，2為公差的等差數列，然后用等差數列求通項的方法求

1

an

的通項，裂項之后求和即可．