Question

如圖，設圓（x-5）²+y²=16的圓心為C，此圓和拋物線y²=px（p＞0）有四個交點，若在x軸上方的兩個交點為A（x₁，

px1

），B（x₂，

px2

）（x₁＜x₂），坐標原點為O，△AOB的面積為S．
（1）求p的取值范圍；
（2）求S關于p的函數f（p）的表達式及S的最大值；
（3）求當S取最大值時，向量

CA

與

CB

的夾角．

Answer 1

分析：（1）因為圓和拋物線有四個交點，所以聯立兩個方程，消去y，根據圓和拋物線的對稱性，得到的關于x的一元二次方程有兩個不同正根，據此可求出參數p的范圍．
（2）△AOB的面積可用

1

2

|AB|乘以O到AB的距離來計算，用弦長公式計算|AB|，點到直線的距離公式計算O到AB的距離，就可得到S關于p的函數f（p）的表達式，再根據（1）中所求p的范圍求最大值．
（3）用數量級的夾角公式計算即可．

解答：解：（1）把 y²=px代入（x-5）²+y²=16得 x²+（p-10）x+9=0
依題意得方程x²+（p-10）x+9=0有兩個不同的正根為x₁，x₂
∴x₁+x₂=10-p，x₁x₂=9，∴

p2-20p+64＞0 10-p＞0

解得p＜4又∵p＞0
∴p的取值范圍是（0，4）
（2）∵直線AB的斜率kAB=

px1 - px2

x1-x2

=

p

x1 + x2

∴AB的方程：y-

px1

=

p

x1 + x2

(x-x1)，
即 

p

x-(

x1

+

x2

)y+

px1x2

=0，即 

p

•x-

16-p

•y+3

p

=0
∴點O到AB的距離d=

3 p

4

，
又|AB|=

(x1-x2)2+p•( x1 - x2 )2

=

64-16p

∴S=f（p）=

1

2

64-16p

3 p

4

=

1

2

3	p(4-p)

≤3，
當且僅當p=2時S取最大值為3
（3）S取最大值時，p=2，解方程x²-8x+9=0，得A(4-

7

，

7

-1)，B(4+

7

，

7

+1)

CA

=(-

7

-1，

7

-1)，

CB

=（(

7

-1，

7

+1)，

CA

•

CB

=-6+6=0
∴向量

CA

，

CB

的夾角的大小為90°．

點評：本題考查了圓與雙曲線位置關系的判斷，以及弦長公式，點到直線距離公式，向量的數量積公式的應用，用到公式較多，平時做題中應注意積累．