Question

如圖所示，已知直三棱柱ABC-A′B′C′，AC=AB=AA′=2，AC，AB，AA′兩兩垂直，E，F，H分別是AC，AB，BC的中點，
（I）證明：EF⊥AH；    
（II）求四面體E-FAH的體積．

Answer 1

【答案】分析：（I）連接B'C，得△AB'C中EF是中位線，所以B'C∥EF．由線面垂直的判定與性質，可證出AH⊥平面BB'C'C，從而得到AH⊥B'C，結合平行線的性質可得EF⊥AH；
（II）取AB的中點I，連接FI．可得△ABB'中，FI∥BB'且FI=BB'=1．結合BB'⊥平面ABC，得FI⊥平面ABC，可得FI是三棱錐F-AEH的高線．求出△AEH的面積，結合錐體體積公式，可得三棱錐F-AEH的體積，即為四面體E-FAH的體積．
解答：解：（I）連接B'C，
∵△AB'C中，E、F分別是AC、AB'的中點，∴B'C∥EF
∵BB'⊥平面ABC，AH⊆平面ABC，∴BB'⊥AH
∵△ABC中，AB=AC，H是BC的中點，∴BC⊥AH
又∵BB'、BC是平面BB'C'C內的相交直線
∴AH⊥平面BB'C'C
∵B'C⊆平面BB'C'C，∴AH⊥B'C
又∵B'C∥EF，∴AH⊥EF，即EF⊥AH；
（II）取AB的中點I，連接FI
∵△ABB'中，FI是中位線
∴FI∥BB'且FI=BB'=1
∵BB'⊥平面ABC，
∴FI⊥平面ABC，可得FI是三棱錐F-AEH的高線
∵△ABC中，AB⊥AC且AB=AC=2
∴S_△ABC==2，可得S_△AEH=S_△ABC=
因此，三棱錐F-AEH的體積V=S_△AEH×EI=××1=
∴四面體E-FAH的體積_VE-FAH=V_F-AEH=
點評：本題在特殊三棱柱中，證明線面平行并且求四面體的體積，著重考查了空間平行與垂直的證明和錐體體積公式等知識，屬于中檔題．