Question

已知二階矩陣M有特征值=8及對應的一個特征向量e₁=，并且矩陣M對應的變換將點（-1，2）變換成（-2，4）.
（1）求矩陣M；
（2）求矩陣M的另一個特征值及對應的一個特征向量e₂的坐標之間的關系.

Answer 1

（1）M=（2）矩陣M的另一個特征值對應的特征向量的坐標之間的關系是2x+y=0

（1）設M=，則=8=，
故                                            2分
=，故                           4分
聯立以上兩方程組解得a=6,b=2,c=4,d=4,
故M=.                                              6分
（2）由（1）知，矩陣M的特征多項式為f（）=（-6）（-4）-8=²-10+16，
故其另一個特征值為="2.                                           " 9分
設矩陣M的另一個特征向量是e₂=，
則Me₂==2，所以,                                   12分
所以矩陣M的另一個特征值對應的特征向量的坐標之間的關系是2x+y="0.                 " 14分