Question

（2012•湖南）某企業接到生產3000臺某產品的A，B，C三種部件的訂單，每臺產品需要這三種部件的數量分別為2，2，1（單位：件）．已知每個工人每天可生產A部件6件，或B部件3件，或C部件2件．該企業計劃安排200名工人分成三組分別生產這三種部件，生產B部件的人數與生產A部件的人數成正比，比例系數為K（K為正整數）．
（1）設生產A部件的人數為x，分別寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間；
（2）假設這三種部件的生產同時開工，試確定正整數K的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數分組方案．

Answer 1

分析：（1）設完成A，B，C三種部件生產需要的時間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x），則可得T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

；
（2）完成訂單任務的時間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域為{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}，可得T₁（x），T₂（x）為減函數，T₃（x）為增函數，T₂（x）=

2

k

T₁（x），分類討論：①當k=2時，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間；②當k≥3時，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

記T (x)=

375

50-x

，為增函數，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間；③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}，利用基本不等式求出完成訂單任務的最短時間，從而問題得解．

解答：解：（1）設寫出完成A，B，C三種部件生產需要的時間分別為T₁（x），T₂（x），T₃（x）
∴T1(x)=

2×3000

6x

=

1000

x

，T2(x)=

2000

kx

，T3(x)=

1500

200-(1+k)x

其中x，kx，200-（1+k）x均為1到200之間的正整數
（2）完成訂單任務的時間為f（x）=max{T₁（x），T₂（x），T₃（x）}，其定義域為{x|0＜x＜

200

1+k

，x∈N+}
∴T₁（x），T₂（x）為減函數，T₃（x）為增函數，T₂（x）=

2

k

T₁（x）
①當k=2時，T₂（x）=T₁（x），f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}=max{

1000

x

，

1500

200-3x

}
∵T₁（x），T₃（x）為增函數，∴當

1000

x

=

1500

200-3x

時，f（x）取得最小值，此時x=

400

9

∵44＜

400

9

＜45，f(44)=T1(44)=

250

11

，f(45)=T3(45)=

300

13

，f（44）＜f（45）
∴x=44時，完成訂單任務的時間最短，時間最短為f(44)=

250

11

②當k≥3時，T₂（x）＜T₁（x），T3(x)=

1500

200-(1+k)x

≥

375

50-x

記T (x)=

375

50-x

，為增函數，φ（x）=max{T₁（x），T（x）}
f（x）=max{T₁（x），T₃（x）}≥max{T₁（x），T（x）}=max{

1000

x

，

375

50-x

}
∵T₁（x）為減函數，T（x）為增函數，∴當

1000

x

=

375

50-x

時，φ（x）取得最小值，此時x=

400

11

∵36＜

400

11

＜37，φ(36)=T1(36)=

250

9

＞

250

11

，φ(37)=T (37)=

375

13

＞

250

11

∴完成訂單任務的時間大于

250

11

③當k＜2時，k=1，f（x）=max{T₂（x），T₃（x）}=max{

2000

x

，

750

100-x

}
∵T₂（x）為減函數，T₃（x）為增函數，∴當

2000

x

=

750

100-x

時，φ（x）取得最小值，此時x=

800

11

類似①的討論，此時完成訂單任務的時間為

250

9

，大于

250

11

綜上所述，當k=2時，完成訂單任務的時間最短，此時，生產A，B，C三種部件的人數分別為44，88，68．

點評：本題考查函數模型的構建，考查函數的單調性，考查分類討論的數學思想，解題的關鍵是確定分類標準，有難度．