Question

已知橢圓的左、右焦點分別為、，橢圓上的點滿足，且的面積．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）是否存在直線，使與橢圓交于不同的兩點、，且線段恰被直線平分？若存在，求出的斜率取值范圍；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）橢圓的方程為.（Ⅱ）存在滿足題設條件的直線，且的斜率取值范圍是

.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意知：.，且，由此可求得，，二者相加即得，從而得橢圓的方程. （Ⅱ）假設這樣的直線存在，且直線的方程為，設與橢圓的兩交點為、，若線段恰被直線平分，則.這顯然用韋達定理.由 得．

由得．再用韋達定理得 ，代入得，再將此式代入得一只含的不等式，解此不等式即得的取值范圍.

試題解析：（Ⅰ）由題意知：， （1分）

橢圓上的點滿足，且，

．

，．

． （2分）

又． （3分）

橢圓的方程為． （4分）

（Ⅱ）假設這樣的直線存在．與直線相交，直線的斜率存在.

設的方程為， （5分）

由 得．（*） （6分）

直線與橢圓有兩個交點，

（*）的判別式，即．① （7分）

設、，則 ．　 （8分）

被直線平分，可知，

，． ②　　　 （9分）

把②代入①，得，即． （10分）

，． （11分）

或．即存在滿足題設條件的直線，且的斜率取值范圍是

． （12分）

考點：直線與圓錐曲線.