Question

如圖，已知拋物線y²=2px（p＞0），焦點為F，準線為直線l，P為拋物線上的一點，過點P作l的垂線，垂足為點Q．當P的橫坐標為3時，△PQF為等邊三角形．
（1）求拋物線的方程；
（2）過點F的直線交拋物線于A，B兩點，交直線l于點M，交y軸于G．
①若

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

，求證：λ₁+λ₂為常數；
②求

GA

•

GB

的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用拋物線的定義求出△PQF的邊長為3+

p

2

，寫出有關點的坐標，利用兩點距離的公式得到|FQ|，列出方程求出p的值，得到拋物線的方程．
（2）①設出直線的方程，求出M，G的坐標，將已知條件

MA

=λ1

AF

，

MB

=λ2

BF

用坐標表示，求出λ₁+λ₂為常數．
②將直線方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理得到A，B的坐標和與積，；利用向量的數量積公式表示出

GA

•

GB

，將韋達定理得到值代入，求出其范圍．

解答：解：（1）據題意知，P（3，

6p

），△PQF為等邊三角形，其邊長為3+

p

2

，Q（-

p

2

，

6p

)，F(

p

2

，0)
所以

p2+6p

=3+

p

2

，解得p=2
所以拋物線的方程y²=4x
（2）①設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=k（x-1）
所以

AF

=(1-x1，-y1)； 

BF

=(1-x2，-y2)
M（-1，-3k），G（0，-k）
所以

MA

=(x1+1，y1+3k)；

MB

=(x2+1，y2+3k)
因為

MA

=λ1

AF

；

MB

=λ2

BF

所以λ₁=λ₂=1，所以λ₁+λ₂=2
②由

y2=4x y=k(x-1)

得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
△=16k²+16＞0
所以x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁•x₂=1，
y₁•y₂=k（x₁-1）•k（x₂-1）=-4；y₁+y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1）=

4

k

所以

GA

•

GB

=x1x2+y1y2+k(y1+y2)+k2
=k²+1≥1
所以

GA

•

GB

的取值范圍為[1，+∞）

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合把握所學知識和基本的運算能力．