Question

設是曲線上的任一點，是曲線上的任一點，稱的最小值為曲線與曲線的距離.
（1）求曲線與直線的距離；
（2）設曲線與直線（）的距離為，直線與直線的距離為，求的最小值.

Answer 1

(1)；(2).

試題分析：（1）曲線上任意一點點到的距離為，用求導的方法判斷最小值；（2）根據題意，，應用基本不等式求出最小值，注意一正二定三相等.
試題解析：（1）只需求曲線上的點到直線距離的最小值.        1分
設曲線上任意一點為則點到的距離為
                                       3分
令,則,由；
               5分
故當時, 函數取極小值即最小值，
即取最小值，故曲線與曲線的距離為；    8分
（2）由（1）可知，，又易知，                9分
則，      12分
當且僅當時等號成立，考慮到，所以，當時，
的最小值為．                                           14分