Question

如圖，平面直角坐標系中，點A、B、C在x軸上，點D、E在y軸上，OA=OD=2，
OC=OE=4，DB⊥DC，直線AD與經過B、E、C三點的拋物線交于F、G兩點，與其對稱軸交
于M.點P為線段FG上一個動點(與F、G不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點Q.

(1)求經過B、E、C三點的拋物線的解析式；
(2)是否存在點P，使得以P、Q、M為頂點的三角形與△AOD相似？若存在，求出滿足條件
的點P的坐標；若不存在，請說明理由；
(3)若拋物線的頂點為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成
為等腰梯形？若能，請直接寫出點P的坐標；若不能，請說明理由.

Answer 1

(1) y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4  (2)存在符合條件的P點 (3)存在

試題分析：（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD²=OB•OC； 則OB=OD²
÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 設拋物線的解析式為：
y=a（x+1）（x-4）（a≠0），則有：  a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；
（2）因為A（-2，0），D（0，2）； 所以直線AD：y=x+2； 聯立拋物線的解析式可求得F
（1- ，3- ），G（1+  ，3+  ）； 設P點坐標為（x，x+2）（1-  ＜x＜
1+ ），則Q（x，-x²+3x+4）； ∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2； 易知M（ ， ）。 若
以P、Q、M為頂點的三角形與△AOD相似，則△PQM為等腰直角三角形； ①以M為直
角頂點，PQ為斜邊，則P（2-  ，4-  ）； ②以Q為直角頂點，PM為斜邊；
P（ ， ）故存在符合條件的P點，且P點坐標為（2-  ，4-  ）
或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）； 設P點
坐標為（m，m+2）， 則Q（m，-m²+3m+4）；（1- ＜m＜1+  ） ∴PQ=-m²+2m+2，
NM= ； ①若四邊形PMNQ是菱形，則首先四邊形PMNQ是平行四邊形，有： MN=PQ，
即：-m2+2m+2=  ， 解得m= ，m= （舍去）；當m= 時，P（ ， ），Q
（ ， ） 此時PM≠MN，故四邊形PMNQ不可能是菱形； ②由于當NQ∥PM時，
四邊形PMNQ是平行四邊形，所以若四邊形PMNQ是梯形，只有一種情況：PQ∥MN，此
時P點坐標為（ ， ）．
∴四邊形PMNQ可以是等腰梯形，且P點坐標為（ ， ）．
點評：此題是二次函數的綜合題，考查的知識點有：直角三角形的性質，二次函數的確定，
等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性質等，同時還考查了分類討論的數學思想；要特別
注意的是在判定梯形的過程中，不要遺漏證明另一組對邊不平行的條件．