Question

【題目】已知等軸雙曲線：的右焦點為，為坐標原點，過作一條漸近線的垂線且垂足為，.

（1）假設過點且方向向量為的直線交雙曲線于、兩點，求的值；

（2）假設過點的動直線與雙曲線交于、兩點，試問：在軸上是否存在定點，使得為常數？若存在，求出點的坐標；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，.

【解析】

（1）根據雙曲線為等軸雙曲線，可求出漸近線方程，再根據點為過作一條漸近線的垂線的垂足，以及，可求出雙曲線中的值，借助雙曲線中，，的關系，得到雙曲線方程．根據直線的方向向量以及點的坐標，可得直線的方程，與雙曲線方程聯立，解出，的值，代入中，即可求出的值．

（2）先假設存在定點，使得為常數，設出直線的方程，與雙曲線方程聯立，解，，用含的式子表示，再代入中，若為常數，則結果與無關，求此時的值即可．

（1）設右焦點坐標為，，

雙曲線為等軸雙曲線，則漸近線為，

由對稱性可知，右焦點到兩條漸近線距離相等，且．

為等腰直角三角形，則由

又等軸雙曲線中，

等軸雙曲線的方程為：.

設，，，為雙曲線與直線的兩個交點，

，直線的方向向量為，

直線的方程為，即

代入雙曲線的方程，可得，

，，

而

（2）假設存在定點，使得為常數，

其中，，，，為雙曲線與直線的兩個交點的坐標，

①當直線與軸不垂直是，設直線的方程為，

代入雙曲線的方程，可得，

由題意可知，，則有，，

要使是與無關的常數，當且僅當，此時，.

②當直線與軸垂直時，可得點，，

若，亦為常數.

綜上可知，在軸上是否存在定點，使得為常數．