Question

【題目】設為空間中三條互相平行且兩兩間的距離分別為4、5、6的直線，給出下列三個結論：

①存在使得是直角三角形；

②存在使得是等邊三角形；

③三條直線上存在四點使得四面體為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體，其中，所有正確結論的個數是( )

A.0B.1C.2D.3

Answer 1

【答案】C

【解析】

本題利用畫圖結合運動變化的思想進行分析．我們不妨先將 A、B、C 按如圖所示放置，容易看出此時 BC＜AB＝AC．

現在，我們將 A 和 B 往上移，并且總保持 AB＝AC（這是可以做到的，只要 A、B 的速度滿足一定關系），而當A、B 移得很高很高時，就得到①和②都是正確的．至于③，結合條件利用反證法的思想方法進行說明即可

我們不妨先將 A、B、C按如圖所示放置．

容易看出此時BC＜AB＝AC．

現在，將A和B往上移，

并且總保持AB＝AC（這是可以做到的，只要A、B的速度滿足一定關系），

而當A、B 移得很高很高時，

不難想象△ABC 將會變得很扁，

也就是會變成頂角A“非常鈍”的一個等腰鈍角三角形．

于是，在移動過程中，

總有一刻，使△ABC成為等邊三角形，

亦總有另一刻，使△ABC成為直角三角形（而且還是等腰的）．

這樣，就得到①和②都是正確的．

至于③，如圖所示．

為方便書寫，稱三條兩兩垂直的棱所公共頂點為．

假設A是，

那么由 AD⊥AB，AD⊥AC，

知 L3⊥△ABC，

從而△ABC三邊的長就是三條直線的距離4、5、6，

這就與AB⊥AC 矛盾．

同理可知D是時也矛盾；

假設C是，

那么由BC⊥CA，BC⊥CD，

知BC⊥△CAD，

而 l1∥△CAD，故 BC⊥l1，

從而BC為l1與l2的距離，

于是 EF∥BC，EF＝BC，這樣就得到EF⊥FG，矛盾．

同理可知B是時也矛盾．

綜上，不存在四點Ai（i＝1，2，3，4），

使得四面體A1A2A3A4為在一個頂點處的三條棱兩兩互相垂直的四面體．

故選C．