Question

【題目】已知過(guò)點(diǎn)的橢圓： （）的左右焦點(diǎn)分別為、， 為橢圓上的任意一點(diǎn)，且， ， 成等差數(shù)列.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）直線： 交橢圓于， 兩點(diǎn)，若點(diǎn)始終在以為直徑的圓外，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) (2) 或

【解析】試題分析：（1）由題意，利用等差數(shù)列和橢圓的定義求出a、c的關(guān)系，再根據(jù)橢圓C過(guò)點(diǎn)A，求出a、b的值，即可寫出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），根據(jù)題意知x1=﹣2，y1=0；聯(lián)立方程消去y，由方程的根與系數(shù)關(guān)系求得x2、y2，由點(diǎn)A在以PQ為直徑的圓外，得∠PAQ為銳角， ＞0；由此列不等式求出k的取值范圍．

試題解析：

（1）∵， ， 成等差數(shù)列，

∴，

由橢圓定義得，∴；

又橢圓： （）過(guò)點(diǎn)，

∴；∴，解得， ；

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；

（2）設(shè)， ，聯(lián)立方程，消去得：

；

依題意： 恒過(guò)點(diǎn)，此點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，∴， ，①

由方程的根與系數(shù)關(guān)系可得， ；②

可得；③

由①②③，解得， ；

由點(diǎn)在以為直徑的圓外，得為銳角，即；

由， ，

∴；即，

整理得， ，解得： 或.

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是或.