Question

如圖，菱形的邊長為4，，.將菱形沿對角線折起，得到三棱錐，點是棱的中點，.

（1）求證：平面；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）.

試題分析：（1）利用三角形的中位線平行于相應的底邊證明，然后結合直線與平面平行的判定定理即可證明平面；（2）先利用翻折時與的相對位置不變證明，然后利用勾股定理證明，并結合直線與平面垂直的判定定理先證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理證明平面平面；（3）作，連接，利用（2）中的結論平面，先證明平面，進而說明為二面角的平面角，然后在中計算，即可計算二面角的余弦值.
試題解析：（1）因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以.
因為平面ABD，平面ABD，所以平面.
（2）因為在菱形ABCD中，，所以在三棱錐中，.
在菱形ABCD中，AB＝AD＝4，，所以BD＝4.因為O為BD的中點，
所以.因為O為AC的中點，M為BC的中點，所以.
因為，所以，即.
因為平面ABC，平面ABC，，所以平面ABC.
因為平面DOM，所以平面平面.
（3）作于，連結DE.由（2）知，平面ABC，所以AB.
因為，所以平面ODE.因為平面ODE，所以.
所以是二面角的平面角.
在Rt△DOE中，，，，
所以.所以二面角的余弦值為.