Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n＝2n²＋2n，數列{b_n}的前n項和T_n＝2－b_n.
(1)求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
(2)設c_n＝·b_n，證明：當且僅當n≥3時，c_n＋1<c_n..

Answer 1

（1）b_n＝2^1－n（2）見解析

(1)解：a₁＝S₁＝4，當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝2n(n＋1)－2(n－1)n＝4n.
又a₁＝4適合上式，∴a_n＝4n(n∈N^*)．
將n＝1代入T_n＝2－b_n，得b₁＝2－b₁，∴T₁＝b₁＝1.
當n≥2時，T_n－1＝2－b_n－1，T_n＝2－b_n，
∴b_n＝T_n－T_n－1＝b_n－1－b_n，
∴b_n＝b_n－1，∴b_n＝2^1－n.
(2)證明：證法1：由c_n＝·b_n＝n²·2^5－n，得.
當且僅當n≥3時，1＋≤<，即c_n＋1<c_n.
證法2：由c_n＝·b_n＝n²·2^5－n，
得c_n＋1－c_n＝2^4－n[(n＋1)²－2n²]＝2^4－n[－(n－1)²＋2]．
當且僅當n≥3時，c_n＋1－c_n<0，即c_n＋1<c_n