Question

【題目】已知函數，實數且．

（1）設，判斷函數在上的單調性，并說明理由；

（2）設且時，的定義域和值域都是，求的最大值；

（3）若不等式對恒成立，求的范圍．

Answer 1

【答案】（1）單調遞增，證明見解析；（2）；（3）且

【解析】

（1）根據函數單調性定義作差判斷函數單調性；

（2）根據單調性確定，，再轉化為對應方程實根分布問題，根據韋達定理以及求根公式得關于的函數關系式，最后根據二次函數性質求最值得結果；

（3）先根據絕對值定義化簡不等式，變量分離轉化為求對應函數最值，

（1）設，則，

∵，，∴，，∴，

即，因此函數在上的單調遞增．

（2）由（1）及的定義域和值域都是得，，

因此，是方程的兩個不相等的正數根，

等價于方程有兩個不等的正數根，

即且且，

解得，

∴，

∵，∴時，最大值為．

（3），則不等式對恒成立，

即，即不等式對恒成立，

令，易證在遞增，同理在遞減．

∴，，

∴，∴且.