Question

如圖，直二面角D－AB－E中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，AE＝EB，F(xiàn)為CE上的點(diǎn)，且BF⊥平面ACE．

(1)求證AE⊥平面BCE；

(2)求二面角B－AC－E的大小；

(3)求點(diǎn)D到平面ACE的距離．

Answer 1

答案：
解析：

解法一：(1)平面ACE． 　　∵二面角D－AB－E為直二面角，且， 　　平面ABE． 　　　4分 　　(2)連結(jié)BD交AC于C，連結(jié)FG， 　　∵正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，∴BG⊥AC，BG＝， 　　平面ACE，由三垂線定理的逆定理得FG⊥AC． 　　是二面角B－AC－E的平面角． 　　由(Ⅰ)AE⊥平面BCE，又， 　　∴在等腰直角三角形AEB中，BE＝．又直角 　　， 　　∴二面角B－AC－E等于　8分 　　(3)過(guò)點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)O．OE＝1． 　　∵二面角D－AB－E為直二面角，∴EO⊥平面ABCD． 　　設(shè)D到平面ACE的距離為h， 　　平面BCE， 　　∴點(diǎn)D到平面ACE的距離為　12分 　　解法二：(Ⅰ)同解法一． 　　(Ⅱ)以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)O，OE所在直線為x軸，AB所在直線為y軸，過(guò)O點(diǎn)平行于AD的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖． 　　面BCE，BE面BCE， 　　，在的中點(diǎn)， 　　 　　設(shè)平面AEC的一個(gè)法向量為， 　　則 　　解得 　　令得是平面AEC的一個(gè)法向量． 　　又平面BAC的一個(gè)法向量為， 　　 　　∴二面角B－AC－E的大小為 　　(Ⅲ)∵AD∥z軸，AD＝2，∴， 　　∴點(diǎn)D到平面ACE的距離