Question

設點P是曲線C：x²=2py（p＞0）上的動點，點P到點（0，1）的距離和它到焦點F的距離之和的最小值為

5

4

．
（1）求曲線C的方程；
（2）若點P的橫坐標為1，過P作斜率為k（k≠0）的直線交C于點Q，交x軸于點M，過點Q且與PQ垂直的直線與C交于另一點N，問是否存在實數k，使得直線MN與曲線C相切？若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據點P到點（0，1）的距離和它到焦點F的距離之和的最小值為

5

4

，可求p的值，從而可得曲線C的方程；
（2）直線PQ的方程與拋物線方程聯立，確定Q的坐標，進一步可得N的坐標，從而可得直線MN的斜率，利用導數求斜率，根據切線相等，即可求得k的值．

解答：解：（1）依題意，點P到點（0，1）的距離和它到焦點F的距離之和的最小值為

5

4

．
∴1+

p

2

=

5

4

，解得p=

1

2

．
所以曲線C的方程為x²=y．…（4分）
（2）由題意直線PQ的方程為：y=k（x-1）+1，則點M（1-

1

k

，0）
聯立方程組

y=k(x-1)+1 y=x2

，消去y得x²-kx+k-1=0
解得Q（k-1，（k-1）²）．…（6分）
所以得直線QN的方程為y-（k-1）²）=-

1

k

(x-k+1)．
代入曲線x²=y，得x2+

1

k

x-1+

1

k

-(1-k)2=0．
解得N（1-

1

k

-k，(1-

1

k

-k)2）．…（8分）
所以直線MN的斜率k_MN=

(1- 1 k -k)2

1- 1 k -k-1+ 1 k

=-

(1- 1 k -k)2

k

．…（10分）
∵過點N的切線的斜率k′=2(1-

1

k

-k)．
∴由題意有-

(1- 1 k -k)2

k

=2(1-

1

k

-k)．
∴解得k=

-1± 5

2

．
故存在實數k=

-1± 5

2

使命題成立．                                …（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與曲線的位置關系，考查直線斜率的求解，正確求斜率是關鍵．