Question

給出下列四個命題：
①若z∈C，|z|²=z²，則z∈R；        ②若z∈C，

.

z

=-z，則z是純虛數；
③若z∈C，|z|²=zi，則z=0或z=i；    ④若z₁，z₂∈C，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|則z₁z₂=0．
其中真命題的個數為

 

．

Answer 1

分析：設z=a+bi，根據已知中的條件，將z=a+bi代入，解關于a，b的方程，求出滿足條件的a，b的值，可以判斷出①②③的真假，舉出反例說明，z₁z₂≠0時，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|也可能成立，即可判斷④的對錯，進而得到答案．

解答：解：若z∈C，令z=a+bi，則|z|²=a²+b²，z²=a²-b²+2abi，若|z|²=z²，則b=0，此時z為實數，故①正確；
若z∈C，令z=a+bi，則

.

z

=-z時，b=0，則z是實數，故②錯誤；
若z∈C，令z=a+bi，則|z|²=a²+b²=ai-b，則a=0，b=0或b=-1，即z=0或z=-i，故③錯誤；
若z₁，z₂∈C，令z₁=1+i，z₂=1-i，|z₁+z₂|=|z₁-z₂|，則z₁z₂≠0，故④錯誤；
故真命題的個數為1個
故答案為1個

點評：本題考查的知識點是復數的基本概念，其中根據復數模的計算方法，及復數的基本運算法則，將z=a+bi代入，解關于a，b的方程，求出滿足條件的a，b的值，再判斷命題的真假是解答本題的關鍵．