Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
（1）對于任意x∈（0，1），總有f（x）＞0；
（2）f（1）=1；
（3）若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）；
（Ⅰ）證明f（x）在[0，1]上為增函數；
（Ⅱ）若對于任意x∈[0，1]，總有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）比較f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)與1的大小，并給與證明．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設0≤x₁＜x₂≤1，由f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁），結合對于任意x∈（0，1），總有f（x）＞0及函數單調性的定義，可判斷f（x）在[0，1]上為增函數；
（Ⅱ）由（I）中函數的單調性，可得f（x）≤f（1）=1，進而分f（x）=1，和f（x）＜1兩種情況討論實數a的取值范圍，最后綜合討論結果，可得實數a的取值范圍．
（Ⅲ）S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

，利用錯位相減法，可求出S_n的表達式，判斷出S_n與1的大小，進而結合（I）中所得函數的單調性得到結論．

解答：證明：（Ⅰ）設0≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁∈（0，1）
∴f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f[（x₂-x₁）+x₁]-f（x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）＞0
即f（x₂）＞f（x₁）
故f（x）在[0，1]上是單調遞增的
解：（Ⅱ）因f（x）在x∈[0，1]上是增函數，則f（x）≤f（1）=1⇒1-f（x）≥0，
當f（x）≤f（1）=1時，容易驗證不等式成立；
當f（x）＜1時，則
4f2(x)-4(2-a)f(x)+5-4a≥0⇒a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

對x∈[0，1]恒成立，
設y=

4f2(x)-8f(x)+5

4-4f(x)

=1-f(x)+

1

4[1-f(x)]

≥1，從而則a≤1
綜上，所求為a∈（-∞，1]；
（Ⅲ）令S_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

----------①，
則

1

2

Sn=

1

23

+

2

24

+

3

25

+…+

n

2n+2

--------------②，
由①-②得，

1

2

Sn=

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n

2n+2

，即，S_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

＜1
所以f(

1

22

+

2

23

+…+

n

2n+1

)＜f(1)=1．

點評：本題考查的知識點是抽象函數及其應用，函數單調性與證明，函數恒成立問題，不等式比較大小，是函數，不等式與數列的綜合應用，難度較大．