Question

【題目】從邊長為2a的正方形鐵片的四個(gè)角各截去一個(gè)邊長為x的正方形，然后折成一個(gè)無蓋的長方體盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過正數(shù)t.

(1)把鐵盒的容積V表示為關(guān)于x的函數(shù)，并指出其定義域．

(2)當(dāng)x為何值時(shí)，容積V有最大值？

Answer 1

【答案】

【解析】

(1)根據(jù)題意列出體積的表達(dá)式，進(jìn)而得到定義域；（2）根據(jù)第一問的表達(dá)式，對式子求導(dǎo)，通過比較導(dǎo)函數(shù)的兩根大小得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到最值.

(1)V＝x＝4x.∵≤t，∴0＜x≤，

∴函數(shù)V＝4x的定義域?yàn)?/span>.

(2)由(1)得V′＝4(x－a)(3x－a)，由V′＞0，得0＜x＜或x＞a，此時(shí)V(x)為增函數(shù)；由V′＜0，得＜x＜a，此時(shí)V(x)為減函數(shù)．顯然＜a.

①當(dāng)≤，即t≥時(shí)，當(dāng)x＝時(shí)，V有最大值；

②當(dāng)＜，即0＜t＜時(shí)，當(dāng)x＝時(shí)，V有最大值．