Question

如圖，三角形PAB是半圓錐PO的一個軸截面，PO=1，AB=2，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，且與圓錐PO的底面共面．
（Ⅰ）若H為圓錐PO的底面半圓周上的一點，且BH∥OC，連AH，證明：AH⊥PC；
（Ⅱ）在圓錐PO的底面半圓周上確定點G的位置，使母線PG與平面PCD所成角的正弦值為

10

4

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過H為圓錐PO的底面半圓周上的一點，且BH∥OC，連AH，通過證明PO⊥平面ABCD，說明PO⊥AH利用直線與平面垂直的判定定理證明：AH⊥PC；
（Ⅱ）以O為原點，OA方向為x軸，OP方向為z軸建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，設出平面PCD的一個法向量

n

，利用

PG • n

| PG || n |

，就是母線PG與平面PCD所成角的正弦值為

10

4

，求出G的坐標即可．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）證明：因為H為圓錐PO的底面圓周上的一點，∴AH⊥BH，
又∵BH∥OC，
∴AH⊥OC…（2分）
因為PO⊥平面ABCD，AH?平面ABCD∴PO⊥AH，
∵PO∩OC=O，∴AH⊥平面PCO，…（4分）
∵PC?平面PCO，∴AH⊥PC…（5分）
（Ⅱ）以O為原點，OA方向為x軸，OP方向為z軸建立空間直角坐標系，…（6分）
則P（0，0，1），D（1，-2，0），C（-1，-2，0），

PD

=(1，-2，-1)，

PC

=(-1，-2，-1)，…（7分）
設平面PCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，則由

PD • n =0 PC • n =0

得

x-2y-z=0 -x-2y-z=0

，
取y=1得平面PCD的一個法向量為

n

=(0，1，-2)；…（9分）
∵G為圓錐PO的底面圓周上的一點，可設G（cosθ，sinθ，0），θ∈[0，π]

PG

=（cosθ，sinθ，-1），依題意得

PG • n

| PG || n |

=

sinθ+2

2 • 5

=

10

4

，…（11分）
解得sinθ=

1

2

，cosθ=±

3

2

，
∴點G的坐標為（±

3

2

，

1

2

，0）  …（13分）

點評：本題考查空間幾何體中直線與平面垂直的判定定理的應用，直線與平面設出角的求法，空間向量的數量積的應用，考查邏輯推理能力與計算能力．