Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（I）若f（x）在x=1時，有極值-1，求b、c的值；
（II）當b為非零實數時，證明：f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線；
（III）記函數|f′（x）|（-1≤x≤1）的最大值為M，求證：M≥

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）在x=1時，有極值-1，可得

3+2b+c=0 1+b+c=2

解得

b=1 c=-5

，要注意驗證．
（Ⅱ）先假設存在，則該直線的斜率等于該點處的導數建立方程3t²+2bt+c=c-b²，即3t²+2bt+b²=0有無根．
（Ⅲ）|f′（x）|=|3（x+

b

3

）²+c|，由二次函數最值求法去討論求解．

解答：解：（1）f′（x）=3x²+2bx+c，
由f（x）在x=1時，有極值-1得

f(1)=0 f(1)=-1

即

3+2b+c=0 1+b+c=2

解得

b=1 c=-5

（3分）
當b=1，c=-5時，
f′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1），
當x＞1時，f′（x）＞0，
當-

5

3

＜x＜1時，f′（x）＜0．
從而符合在x=1時，f（x）有極值，（4分）
（Ⅱ）假設f（x）圖象在x=t處的切線與直線（b²-c）x+y+1=0平行，
∵f′（t）=3t²+2bt+c，
直線（b²-c）x+y+1=0的斜率為c-b²，
∴3t²+2bt+c=c-b²，（7分）
即3t²+2bt+b²=0．
∵△=4（b²-3b²）=-8b²，
又∵b≠0，∴△＜0．
從而方程3t²+2bt+b²=0無解，
因此不存在t，使f′（t）=c-b²，
卻f（x）的圖象不存在與直線（b²-c）x+y+1=0平行的切線．（8分）
（Ⅲ）∵|f′（x）|=|3（x+

b

3

）²+c|，
①若|-

b

3

|＞1，則M應是|f′（-1）|和|f′（1）|中最大的一個，
∴2M≥|f′（-1）|+|f′（1）|=|3-2b+c|+|3+2b+c|≥|4b|＞12，
∴M＞6，從而M≥

3

2

．（10分）
②當-3≤b≤0時，2M≥|f′（-1）|+|f′（-

b

3a

，

3c-b2

3

）|
=|3-2b+c|+|c-

b2

3

|≥|-2b+3|=|（b-3）²|≥3，所以M≥

3

2

．（12分）
③當0＜b≤3時，2M≥|f′（1）|+|f′（-

b

3

）|=|3+2b+c|+|c-

b2

3

|≥|

b2

3

+2b+3|
=|

1

3

（b+3）²|＞3，∴M≥

3

2

．
綜上所述，M≥

3

2

．（14分）

點評：本題主要考查導數的幾何意義及導數作為一個函數在解題中的應用．