Question

設函數其中，
（1）求的單調區間；
（2）當時，證明不等式：.
（3）求證：ln(n+1)> +++L（）．

Answer 1

（1）函數的單調遞減區間是，函數的單調遞增區間是.
（2）略    （3）略

本試題主要是考查了單調性的運用，以及運用構造函數的思想，證明不等式的問題。
解：由已知得函數的定義域為，
又  ———2分
由解得                                                    
當變化時， 的變化情況如下表：

		0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

由上表可知，當時，函數在內單調遞減；當時，函數在內單調遞增。所以，函數的單調遞減區間是，函數的單調遞增區間是.   ———4分                                   
（2）
對求導，得：     ——6分
當時，所以在內是增函數，又因為在上連續，所以 在內是增函數
當時，即  —8分
同理可證     ——10分
(3)由<ln(x+1)知ln(+1)>, ln(+1)>,L，ln(1+1)> ——12分
所以ln(+1)+ln(+1)+L+ln(1+1)> ++L+
所以ln(n+1)> +++L（）