Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx+d是定義在R上的函數，它在[-1，0]和[4，5]上有相同的單調性，在[0，2]和[4，5]上有相反的單調性．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）在函數f（x）的圖象上是否存在點M（x，y），使得f（x）在點M的切線斜率為3b？若存在，求出M點的坐標，若不存在，則說明理由；
（Ⅲ）設f（x）的圖象交x軸于A、B、C三點，且B的坐標為（2，0），求線段AC的長度|AC|的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數f（x）的單調區間判斷出x=0是函數的極值點，利用函數在極值點處的導數值為0，列出方程求出c的值．
（2）將c的值代入導函數，令導函數為0求出方程的兩個根即兩個極值點，據函數的單調性，判斷出根 與區間端點的關系，列出不等式組求出 的范圍．假設存在，根據導數的幾何意義，列出方程，通過判斷判別式的符號得到結論．
（3）設出f（x）的三個零點，寫出f（x）的利用三個根不是的解析式，將x=2代入，利用韋達定理求出A，C的距離，據（2）求出|AC|的最值．
解答：解：（1）由條件可知f（x）在區間[-1，0]和[0，2]上有相反的單調性，
∴x=0是f（x）的一個極值點，
∴f′（0）=0
而f′（x）=3ax²+2bx+c，
故c=0．
（2）令f′（x）=0，則3ax²+2bx=0，
解得 ．
又f（x）在區間[0，2]和[4，5]上有相反的單調性，
得 解得 ．
假設存在點M（x，y），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b，則f'（x）=3b
∵，∴△＜0，x無解
故不存在點M（x，y），使得f（x）在點M處的切線斜率為3b
（3）設A（α，0），C（β，0），
則由題意可令f（x）=a（x-α）（x-2）（x-β）=a[x³-（2+α+β）x²+（2α+2β+αβ）x-2αβ]…（2分）
則 ，解得
又∵函數f（x）的圖象交x軸于B（2，0），
∴f（2）=0即8a+4b+d=0
∴d=-4（b+2a），

從而 =
∵
∴當 時，|AC|_max=；當 時，|AC|_min=3．
所以3≤|AC|≤
點評：本題考查極值點處的函數值為0，極值點左右兩邊的導函數符號相反；解決二次方程的根的問題常用到韋達定理．