Question

【題目】已知數列是公差的等差數列，且．

（1）求的前項的和；

（2）若，問在數列中是否存在一項（是正整數），使得成等比數列，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由；

（3）若存在自然數（是正整數），滿足，使得成等比數列，求所有整數的值．

Answer 1

【答案】（1）54（2）存在，（3），或1．

【解析】

（1）利用等差數列的前項和公式及其性質，即可得出結果．

（2）由，且．可得，可得．假設存在一項（是正整數），使得成等比數列，可得，解出即可得出．

（3）由題意可得：，．公差．可得，化為：，求解，再進行分類討論，即可得出結果．

解：（1）由題意，.

（2）由，且．可得，解得，，可得.

假設存在一項（是正整數），使得成等比數列，

則，，解得．

∴存在一項，使得成等比數列．

（3）由題意可得：，．

公差．

，

化為：，

解得，或．

∴當時，，滿足題意．

當時．化為，即，

解得或1．

綜上可得：或1．