Question

【題目】已知點A、B、C、D的坐標分別為A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),，α∈(,).

（1）若，求角α的值；

（2）若，求的值.

（3）若在定義域α∈(,)有最小值，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2） ；（3）

【解析】

（1）利用向量的坐標運算與向量的模，可求得sinα＝cosα，從而可求得角α的值；

（2）由可求得sinα+cosα＝，從而可求得sin2α，而 可化簡為2sinαcosα，從而可得答案；

（3）依題意記y＝f（α）＝﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2，令x＝sinα，結合題意可求得y＝2x2﹣tx﹣t2，x∈（﹣1，1），利用二次函數的單調性與最值即可求得t的值．

（1）∵＝（cosα﹣3，sinα），＝（cosα，sinα﹣3），

∴||＝＝，

||＝＝

由||＝||得sinα＝cosα，又α∈（，），

∴α＝

（2）由＝﹣1得（cosα﹣3）cosα+sinα（sinα﹣3）＝﹣1．∴sinα+cosα＝，①

又＝＝2sinαcosα．

①式兩邊平方得1+2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝．

∴＝﹣．

（3）依題意記y＝f（α）＝﹣2cos2α﹣tsinα﹣t2+2

＝﹣2（1﹣sin2α）﹣tsinα﹣t2+2

＝2sin2α﹣tsinα﹣t2

令x＝sinα，∵α∈（，），∴sinα∈（﹣1，1），

∴y＝2x2﹣tx﹣t2，x∈（﹣1，1）,其對稱軸為x＝，

∵y＝2x2﹣tx﹣t2在x∈（﹣1，1）上存在最小值，∴對稱軸x＝∈（﹣1，1），

∴t∈（﹣4，4）,當且僅當x＝時，y＝2x2﹣tx﹣t2取最小值，為ymin＝2×﹣t﹣t2＝﹣t2＝﹣1，

∴t＝±