Question

如圖，矩形ABCD中，DC=

3

，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D'點，當D'在平面ABC上的射影落在AE上時，四棱錐D'-ABCE的體積是

2 6 - 2

12

；當D'在平面ABC上的射影落在AC上時，二面角D'-AE-B的平面角的余弦值是

2-

3

．

Answer 1

分析：求四棱錐D'-ABCE的體積，關鍵是求底面積與高，利用在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，可求高，從而體積易求；二面角D'-AE-B的平面角通過添加輔助線，尋找二面角的平面角，從而可求．

解答：解：當D'在平面ABC上的射影落在AE上時，不妨設垂足為F，
在Rt△D′AE中，AD=1，DE=1，∴D/F=

2

2

∵SABCE =

3

-

1

2

∴四棱錐D'-ABCE的體積是

1

3

×(

3

-

1

2

)×

2

2

=

2 6 - 2

12

當D'在平面ABC上的射影落在AC上時，不妨設垂足為O，，取AE得中點M，連接OM，則D′M⊥AE
∴∠D′MO為二面角D'-AE-B的平面角．
在△OMD′中，OM=

2

-

6

2

， D/M=

2

2

，
∴cos∠OMD/=2-

3

故答案為

2 6 - 2

12

， 2-

3

點評：本題的考點與二面角有關的立體幾何綜合問題，主要考查二面角的計算，考查幾何體的體積，關鍵是正確得出二面角的平面角，有一定的綜合性．