Question

已知A，B 分別為曲線C：

x2

a2

+y²=1（y≥0，a＞0）與x軸的左、右兩個交點，直線l過點B，且與x軸垂直，S為l上異于點B的一點，連接AS交曲線C于點T．
（1）若曲線C為半圓，點T為圓弧

AB

的三等分點，試求出點S的坐標；
（2）如圖，點M是以SB為直徑的圓與線段TB的交點，試問：是否存在a，使得O，M，S三點共線？若存在，求出a的值，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先由曲線C為半圓時得到a=1，再由點T為圓弧

AB

的三等分點得∠BOT=60°或120°，再對每一種情況下利用解三角的方法分別求點S的坐標即可；
（II）先把直線AS的方程與曲線方程聯立，求出點T的坐標以及k_BT，進而求得k_SM；以及直線SM的方程，再利用O在直線SM上即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）當曲線C為半圓時，a=1，
由點T為圓弧

AB

的三等分點得∠BOT=60°或120°．┉┉（1分）
（1）當∠BOT=60°時，∠SAB=30°．
又AB=2，故在△SAE中，有SB=AB•tan30°=

2 3

3

，∴s（1，

2 3

3

）；┉┉（3分）
（2）當∠BOT=120°時，同理可求得點S的坐標為（1，2

3

），
綜上，s（1，

2 3

3

）或s（1，2

3

）．┉┉（5分）
（Ⅱ）假設存在a，使得O，M，S三點共線．
由于點M在以SB為直徑的圓上，故SM⊥BT．
顯然，直線AS的斜率k存在且K＞0，可設直線AS的方程為y=k（x+a）
由

x2 a2 +y2=1 y=k(x+a)

?（1+a²k²）x²+2a³k²x+a⁴k²-a²=0．
設點T（x_T，y_T），則有xT• (-a)=

a4k2-a2

1+a2k2

，
故x_T=

a-a3k2

1+a2k2

?yT=k(xT+a )=

2ak

1+a2k2

，故T（

a-a3k2

1+a2k2

，

2ak

1+a2k2

）
又B（a，0）∴k_BT=

yT

xT-a

=-

1

a2k

，k_SM=a²k．
由

x=a y=k(x+a)

?S（a，2ak），所直線SM的方程為y-2ak=a²k（x-a）
O，S，M三點共線當且僅當O在直線SM上，即2ak=a²ka．
又a＞0，k＞0?a=

2

，
故存在a=

2

，使得O，M，S三點共線．

點評：本題主要考查直線和圓相切，直線的方程，三點共線和圓的幾何性質等基礎知識，考查用代數方法研究圓錐曲線的性質和數形結合的數學思想，考查解決問題的能力和運算能力．