Question

已知函數f（x）=alnx-ax-3（a∈R）．
（1）若a=-1，求函數f（x）的單調區間并比較f（x）與f（1）的大小關系；
（2）若函數y=f（x）的圖象在點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，對于任意的t∈[1，2]，函數g（x）=x³+x²[f′（x）+

m

2

]在區間（t，3）上總不是單調函數，求m的取值范圍；
（3）若n≥2，n∈N⁺，試猜想

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

與

1

n

的大小關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）利用導數，可得函數的單調區間；
（2）點（2，f（2））處的切線的傾斜角為45°，即切線斜率為1，即f'（2）=1，可求a值，代入得g（x）的解析式，由t∈[1，2]，且g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數得不等式組，從而可求m的范圍；
（3）利用前面的結論構造函數，利用函數的單調性，可得0＜

lnn

n

＜

n-1

n

，從而可得結論．

解答：解：（1）當a=-1時，f（x）=-lnx+x-3，f′（x）=

x-1

x

（x＞0）----------（1分）
令f′（x）＞0，解得x∈[1，+∞）；令f′（x）＜0，解得x∈（0，1]
所以，f（x）的單調增區間為[1，+∞）；減區間為（0，1]-----------------（3分）
所以f（x）_min=f（1），所以f（x）≥f（1）；-----------------------（4分）
（2）∵f′（x）=

a(1-x)

x

(x＞0)
∴f′（2）=-

a

2

得a=-2，∴f（x）=-2lnx+2x-3
∴g（x）=x³+（

m

2

+2）x²-2x，
∴g′（x）=3x²+（m+4）x-2（6分）
∵g（x）在區間（t，3）上總不是單調函數，且g′（0）=-2
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

（8分）
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

∴-

37

3

＜m＜-9（10分）
（3）猜想：

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

n

（n≥2，n∈N^*）-------------（11分）
證明如下：由（1）可知
當x∈（1，+∞）時，f（x）＞f（1），即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1對一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N^*，則有0＜lnn＜n-1，
∴0＜

lnn

n

＜

n-1

n

-----------（13分）
∴

ln2

2

×

ln3

3

×

ln4

4

×…×

lnn

n

＜

1

2

•

2

3

•…•

n-1

n

=

1

n

----------（14分）

點評：本題考查利用函數的導數來求函數的單調區間，考查函數導數的幾何意義的考查，屬于中檔題．