Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=2a_n+n²-4n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）寫出數列{a_n}的前三項a₁，a₂，a₃；
（Ⅱ）求證：數列{a_n-2n+1}為等比數列；
（Ⅲ）求S_n．

Answer 1

分析：（1）由a₁=S₁，可求a₁，再由a₂=S₂-S₁，a₃=S₃-S₂，可分別求出a₂，a_3．
（2）要證數列{a_n-2n+1}為等比數列，只需證它的后一項與前一項的比是常數即可．
（3）由（Ⅱ）可知數列{a_n-2n+1}為等比數列，求出數列{a_n}的通項公式，進而求前n項和S_n．

解答：解：（Ⅰ）由S_n=2a_n+n²-4n，
當n=1時，a₁=2a₁+1-4，可得a₁=3．a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1+（n+1）²-4（n+1）-2a_n-n²+4n，
可得a_n+1=2a_n-2n+3．
可得a₂=7，a₃=13．　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ⅱ）由a_n+1=2a_n-2n+3可得，

an+1-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-2n+3-2(n+1)+1

an-2n+1

=

2an-4n+2

an-2n+1

=2．
又a₁-2×1+1=2．
所以數列{a_n-2n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．　　
（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，a_n-2n+1=2ⁿ．
所以a_n=2n-1+2ⁿ．
又S_n=2a_n+n²-4n，
可得S_n=2ⁿ⁺¹+n²-2．

點評：本題考查了等比數列的證明，并根據數列通項公式求前n項和，屬于常規題，掌握解法．