Question

將圓x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圓O，直線l與圓O相交于A、B，若在圓O上存在點C，使

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，求直線l的方程及對應的點C坐標．

Answer 1

分析：先求出平移后的圓的方程，設出直線的方程，并把它代入圓的方程利用一元二次方程根與系數的關系，求出點C的坐標的解析式，把點C的坐標代入圓的方程，可解得m值，即得點C坐標．

解答：解：將圓的方程x²+y²-2x+4y=0化為（x-1）²+（y+2）²=5，
∴圓x²+y²-2x+4y=0按向量

a

=(-1，2)平移后得到圓x²+y²=5，
∵

OC

=

OA

+

OB

=λ

a

，又|

OA

|=|

OB

|=

5

，
∴AB⊥OC，

OC

∥

a

，
∴直線l的斜率k=

1

2

，設直線l的方程為y=

1

2

x+m，
由

y= 1 2 x+m x2+y2=5

得 5x²+4mx+4m²-20=0，△=16m²-20（4m²-20）＞0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x1+x2=-

4m

5

，y1+y2=

8m

5

∴

OC

=(-

4m

5

，

8m

5

)，∵點C(-

4m

5

，

8m

5

)在圓上，∴(-

4m

5

)2+(

8m

5

)2=5
解得m=±

5

4

，滿足△=16m²-20（4m²-20）＞0
當m=

5

4

時，l的方程為2x-4y+5=0，點C坐標為（-1，2）；
當m=-

5

4

時，l的方程為2x-4y-5=0，點C坐標為（1，-2）．

點評：本題考查向量在幾何中的應用，直線和圓相交的性質，一元二次方程根與系數的關系，體現了數形結合的數學思想．