Question

已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡方程為L,設L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.

(1)求圓C的圓心軌跡L的方程.

(2)求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程.

(3)在(2)的條件下,試探究軌跡Q上是否存在點B(x1,y1),使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于.若存在,請求出點B的坐標;若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

(1) y=-1 (2) x2=4y (3) 存在 點B的坐標為(2,1)或(-2,1)，理由見解析

【解析】(1)兩圓的半徑都為1,兩圓的圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),

由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,C1C2的中點為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,故圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,其方程為y=-1,即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.

(2)因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離相等,故點M的軌跡Q是以y=-1為準線,以點F(0,1)為焦點,頂點在原點的拋物線,=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y.

(3)假設存在點B滿足條件.由(2)得y=x2,y'=x,所以過點B的切線的斜率為k=x1,

切線方程為y-y1=x1(x-x1).

令x=0得y=-+y1,

令y=0得x=-+x1.

因為點B在x2=4y上,所以y1=,

故y=-,x=x1,

所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為

S=|x||y|=|x1||-|=||,

所以||=,解得|x1|=2,

所以x1=±2.

當x1=2時,y1=1,當x1=-2時,y1=1,所以點B的坐標為(2,1)或(-2,1).