Question

（2003•北京）如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點，AB=a．
（Ⅰ）求證：直線A₁D⊥B₁C₁；
（Ⅱ）求點D到平面ACC₁的距離；
（Ⅲ）判斷A₁B與平面ADC₁的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲證A₁D⊥B₁C₁，由于BC∥B₁C₁，∴只要證A₁D⊥BC，根據點D是正△ABC中BC邊的中點，可證AD⊥BC，故問題得證；
（Ⅱ）先作出點D到平面ACC₁的 距離．作DE⊥AC于E，由于平面ACC₁⊥平面ABC，所以DE⊥平面ACC₁于E，即DE的長為點D到平面ACC₁的 距離． 在Rt△ADC中，可求
（Ⅲ）直線A₁B∥平面ADC₁．欲證A₁B∥平面ADC₁．只需證明DF∥A₁B，連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點，因為D是BC的中點，所以DF∥A₁B，利用線面平行的判定定理可證．

解答：解：（Ⅰ）∵點D是正△ABC中BC邊的中點，∴AD⊥BC，
又A₁A⊥底面ABC，∴A₁D⊥BC，∵BC∥B₁C₁，∴A₁D⊥B₁C₁．
（Ⅱ）作DE⊥AC于E，∵平面ACC₁⊥平面ABC，
∴DE⊥平面ACC₁于E，即DE的長為點D到平面ACC₁的 距離．  
在Rt△ADC中，AC=2CD=a，AD=

3

2

a．
∴所求的距離DE=

CD•AD

AC

=

3

4

a．
（Ⅲ）答：直線A₁B∥平面ADC₁，證明如下：
連接A₁C交AC₁于F，則F為A₁C的中點，∵D是BC的中點，∴DF∥A₁B，
又DF?平面ADC₁，A₁B?平面ADC₁，∴A₁B∥平面ADC₁．

點評：本題的考點是點、線、面間距離的計算，主要考查點、線、面之間的位置關系，考查點線距離，關鍵是正確利用線面平行與垂直的判定與性質．