Question

（2008•黃浦區(qū)一模）（理科）△ABC中，已知∠A=

π

3

，邊BC=2

3

，設∠B=x，△ABC的周長為y．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并寫出函數(shù)的定義域；
（2）求函數(shù)y=f（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）由A的度數(shù)及設出的B的值，利用三角形的內(nèi)角和定理求出C的度數(shù)，根據(jù)C大于0列出關于x的不等式，求出不等式的解集得到x的范圍，即為函數(shù)的定義域，再由BC=a的值，sinA，sinx，及表示出的sinC的值，利用正弦定理表示出b和c，然后三邊相加即可列出y關于x的函數(shù)解析式；
（2）把（1）得到的函數(shù)解析式利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡，合并后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由（1）求出的函數(shù)定義域，得出這個角的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，進而得到函數(shù)f（x）的值域．

解答：解：（1）△ABC的內(nèi)角和A+B+C=π，且A=

π

3

，B=x，C＞0，
∴C=

2π

3

-x＞0，0＜x＜

2π

3

．
由正弦定理，知

2 3

sin π 3

=

b

sinx

=

c

sin( 2π 3 -x)

，
即

b=4sinx c=4sin( 2π 3 -x)

所以y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)；

（2）由（1）知，
y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)
=6sinx+2

3

cosx+2

3

=4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

(

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

)，
由正弦函數(shù)的圖象知，當

π

6

＜x+

π

6

＜

5π

6

時，有

1

2

＜sin(x+

π

6

)≤1．
于是，4

3

＜4

3

sin(x+

π

6

)+2

3

≤6

3

，
所以，函數(shù)y=4sinx+4sin(

2π

3

-x)+2

3

(0＜x＜

2π

3

)的值域是(4

3

，6

3

]．

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域及值域，第一問利用正弦定理建立了三角形的邊角關系，表示出b和c來解決問題，第二問利用三角函數(shù)的恒等變換把函數(shù)解析式化為一個角的正弦函數(shù)是解本問的關鍵．