Question

某市2009年初擁有汽車40萬量，每年年終將有當年汽車總量的5%報廢，在第二年年初又將有一部分新車上牌，但為了保持該市空氣質量，需要該市的汽車擁有量不超過60萬量，故該市采取限制新上牌車輛數的措施進行控制，所以該市每年只有b萬輛新上牌車．
（1）求第n年年初該市車輛總數a_n（2010年為第一年）；
（2）當b=4時，試問該項措施能否有效？若有效，說明理由；若無效，請指出哪一年初開始無效．
（參考數據：lg2=0.30，lg3=0.48，lg19=1.28，lg21=1.32）

Answer 1

分析：（1）依題意知an-20b=

19

20

(an-1-20b)，由此可知an-20b=(38-19b)(

19

20

)n-1，所以an=19(2-b)(

19

20

)n-1+20b．
（2）當b=4時，an=-38(

19

20

)n-1+80.若第n年初無效，則-38(

19

20

)n-1+80＞60，解得n＞15，所以n≥16，則第16年初開始無效．即2025年初開始無效．

解答：解：（1）依題意，a1=40×

19

20

+b=38+b，an=

19

20

an-1+b(n≥2)
即an-20b=

19

20

(an-1-20b)，故可得an-20b=(38-19b)(

19

20

)n-1
∴an=19(2-b)(

19

20

)n-1+20b；
（2）當b=4時，an=-38(

19

20

)n-1+80.若第n年初無效，則-38(

19

20

)n-1+80＞60
解得n＞

lg2

lg20-lg19

=

lg2

lg2+1-lg19

=

0.30

0.30-0.28

=15
所以n≥16，則第16年初開始無效．即2025年初開始無效．

點評：本題考查數列的性質和應用，解題時要認真審題，注意計算能力的培養．