Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）證明： 時， ；

（Ⅲ）比較三個數： ， ， 的大小（為自然對數的底數），請說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導分和討論其單調性，

（Ⅱ）等價于，構造函數利用其在上單調性證明，再構造利用其在上的單調性;

（Ⅲ）由（Ⅱ）的結論，通過賦值可得證.

試題解析：

（Ⅰ）函數的定義域為，因為，

當時， ，所以函數在上單調遞增；

當時，由得，，由得，

所以函數 在上單調遞減，在上單調遞增．

（Ⅱ）①因為，不等式等價于，令，則，由得，所以不等式 （）等價于： ，即： （），由（Ⅰ）得：函數在上單調遞增，所以，即： ．

②因為，不等式等價于，令，則，所以，所以函數在上為減函數，所以，即．

由①②得： 時，

（Ⅲ）由（Ⅱ）得： 時， ，所以令，得，即，所以；

又因為 （），所以，令得： ，所以，從而得 ．

所以， ．

點晴:本題主要考查函數單調性，不等式恒成立，及不等式的證明問題.要求單調性，求導比較導方程的根的大小，解不等式可得單調區間，要證明不等式恒成立問題可轉化為構造新函數證明新函數單調，只需要證明其導函數大于等于0（或者恒小于等于0即可），要證明一個不等式，我們可以先根據題意構造新函數，求其值最值即可.這類問題的通解方法就是：劃歸與轉化之后，就可以假設相對應的函數，然后利用導數研究這個函數的單調性、極值和最值，圖像與性質，進而求解得結果.