Question

（本小題滿分14分）
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，D，E分別為AB，CD的中點，AE的延長線交CB于F。現將△ACD沿CD折起， 折成二面角A—CD—B，連接AF。

（I）求證：平面AEF⊥平面CBD；
（II）當AC⊥BD時，求二面角A—CD—B大小的余弦值

Answer 1

（I）證明略
（II）

（I）證明：在，

又E是CD的中點，得AF⊥CD。   …………3分
折起后，AE⊥CD，EF⊥CD，
又AE∩EF=E，AE平面AED，EF平面AEF，
故CD⊥平面AEF，   …………6分
又CD平面CDB，
故平面AEF⊥平面CBD。  …………7分
（II）方法一：
解：過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線上。

∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
∴AH⊥平面CBD。…………8分
以E為原點，EF所在直線為x軸，ED所在直線為y軸，
過E與AH平行的直線為z軸建立如圖空間直角坐標系數。…………9分
由（I）可知∠AEF即為所求二面角的平面角，
設為，并設AC=a，可得

…………11分

得  …………13分
故二項角A—CD—B大小的余弦值為…………14分
方法二：
解：過點A作AH⊥EF，垂足H落在FE的延長線，

∵CD⊥平面AEF，所以CD⊥AH，
∴AH⊥平面CBD。 …………9分
連接CH并延長交BD的延長線于G，
由已知AC⊥BD，得CH⊥BD，
即∠CGB=90°，
因此△CEH∽△CGD，
則

故 …………12分
又∵AE⊥CD，EF⊥CD，
∴∠AEF即為所求二面角的平面角，…………13分
故二項角A—CD—B大小的余弦值為…………14分