Question

已知命題P：方程x²+（a²-1）x+a-2=0的兩根為x₁和x₂，且x₁＜1＜x₂＜2；命題q：方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立；若P或q為真，P且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

∵方程x²+（a²-1）x+a-2=0的兩根為x₁和x₂，
若x₁＜1＜x₂＜2成立
令f（x）=x²+（a²-1）x+a-2
則

f(1)＜0 f(2)＞0

即

a2+a-2＜0 2a2+a＞0

解得a∈（-2，-

1

2

）∪（0，1）
令g（x）=|x|+|x-

1

2

|
則g（x）≥

1

2

恒成立
若方程|x|+|x-

1

2

|＞a恒成立
則a∈（-∞，

1

2

）
又∵P或q為真，P且q為假，
故P與q中必然一真一假
當p真q假時，a∈[

1

2

，1）
當p假q真時，a∈（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]
綜上實數a的取值范圍為：（-∞，-2]∪[-

1

2

，0]∪[

1

2

，1）