Question

【題目】如圖，矩形中，，，為的中點，點，分別在線段，上運動（其中不與，重合，不與，重合），且，沿將折起，得到三棱錐，則三棱錐體積的最大值為______；當三棱錐體積最大時，其外接球的半徑______.

Answer 1

【答案】1

【解析】

易知當平面平面時，三棱錐體積最大，此時平面.DN為幾何體的高，設，則，且，再由V三棱錐D-MNQ求解，當三棱錐體積最大時，三棱錐是正三棱柱的一部分，則三棱柱的外接球即是三棱錐的外接球，設點，分別是上下底面正三角形的中心，則線段的中點即是三棱柱的外接球的球心求解.

當平面平面時，三棱錐體積最大，

這時平面.

設，則，且，

則V三棱錐D-MNQ，

當時，三棱錐體積最大，且.此時，，

∴，

∴為等邊三角形，

∴當三棱錐體積最大時，三棱錐是正三棱柱的一部分，

如圖所示：

則三棱柱的外接球即是三棱錐的外接球，

設點，分別是上下底面正三角形的中心，

∴線段的中點即是三棱柱的外接球的球心，

∴，

又∵是邊長為2的等邊三角形，

∴，

∴三棱柱的外接球的半徑.

故答案為：1；.