Question

已知函數f（x）=sinωx（ω＞0）在區間上單調遞增，在區間上單調遞減；如圖，四邊形OACB中，a，b，c為△ABC的內角A，B，C的對邊，且滿足．
（Ⅰ）證明：b+c=2a；
（Ⅱ）若b=c，設∠AOB=θ，（0＜θ＜π），OA=2OB=2，求四邊形OACB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，解之可得ω，代入已知條件化簡可得sinC+sinB=2sinA，再由正弦定理可得b+c=2a；
（Ⅱ）由條件和（Ⅰ）的結論可得△ABC為等邊三角形，可得，可化簡為，由θ的范圍可得結論．
解答：解：（Ⅰ）由題意知：，解得…（2分）
∵，
∴sinBcosA+sinCcosA=2sinA-cosBsinA-cosCsinA，
∴sinBcosA+cosBsinA+sinCcosA+cosCsinA=2sinA，
∴sin（A+B）+sin（A+C）=2sinA…（4分）
∴sinC+sinB=2sinA，
∴b+c=2a…（6分）
（Ⅱ）因為b+c=2a，b=c，所以a=b=c，所以△ABC為等邊三角形，
∴…（8分）
=…（9分）
==，…（10分）
∵θ∈（0，π），∴，
當且僅當，即時取最大值，S_OACB的最大值為…（12分）
點評：本題考查兩角和與差的三角函數公式，涉及余弦定理和三角形的面積，屬中檔題．