Question

如圖，在三棱柱ABC ?A1B1C1中，底面△ABC是等邊三角形，D為AB中點(diǎn)．

(1)求證：BC1∥平面A1CD；

(2)若四邊形BCC1B1是矩形，且CD⊥DA1，求證：三棱柱ABC ?A1B1C1是正三棱柱．

 

Answer 1

（1）見解析（2）見解析

【解析】(1)連接AC1，設(shè)AC1與A1C相交于點(diǎn)O，連接DO，則O為AC1中點(diǎn)，

∵D為AB的中點(diǎn)，∴DO∥BC1

∵BC1?平面A1CD，DO?平面A1CD

∴BC1∥平面A1CD；

(2)∵等邊△ABC，D為AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB

∵CD⊥DA1，DA1∩AB＝D，∴CD⊥平面ABB1A1

∵BB1?平面ABB1A1，∴BB1⊥CD，

∵四邊形BCC1B1是矩形，∴BB1⊥BC

∵BC∩CD＝C，∴BB1⊥平面ABC

∵底面△ABC是等邊三角形

∴三棱柱ABC ?A1B1C1是正三棱柱．