Question

選修4-4：坐標系與參數方程
在極坐標系內，已知曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，以極點為原點，極軸方向為x正半軸方向，利用相同單位長度建立平面直角坐標系，曲線C₂的參數方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數）．
（Ⅰ）求曲線C₁的直角坐標方程以及曲線C₂的普通方程；
（Ⅱ）設點P為曲線C₂上的動點，過點P作曲線C₁的兩條切線，求這兩條切線所成角余弦的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據極坐標與直角坐標的互化公式求得曲線C₁的直角坐標方程，把曲線C₂的參數方程消去參數，化為普通方程．
（Ⅱ）過圓心（1，-2）點作直線3x+4y-15=0的垂線，此時兩切線成角θ最大，余弦值最小．由點到直線的距離公式求得弦心距d的值，可得sin

θ

2

=

1

4

，再用二倍角的余弦公式求得兩條切線所成角的余弦值的最小值．

解答：解：（Ⅰ）對于曲線C₁的方程為ρ²-2ρ（cosθ-2sinθ）+4=0，
可化為直角坐標方程x²+y²-2x+4y+4=0，即（x-1）²+（y+2）²=1；
對于曲線C₂的參數方程為

5x=1-4t 5y=18+3t

（t為參數），
可化為普通方程3x+4y-15=0．
（Ⅱ）過圓心（1，-2）點作直線3x+4y-15=0的垂線，此時兩切線成角θ最大，即余弦值最小．
則由點到直線的距離公式可知，d=

|3×1+4×(-2)-15|

32+42

=4，則sin

θ

2

=

1

4

，
因此，cosθ=1-2sin2

θ

2

=

7

8

，
因此兩條切線所成角的余弦值的最小值是

7

8

．

點評：本題主要考查把極坐標方程、參數方程化為直角坐標方程的方法，直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式、二倍角的余弦公式的應用，屬于中檔題．