Question

有下列四個命題：
①對于?x∈R，函數f（x）滿足f（1+x）=f（1-x），則函數f（x）的最小正周期為2；
②所有指數函數的圖象都經過點（0，1）；
③若實數a，b滿足a+b=1，則

1

a

+

4

b

的最小值為9；
④已知兩個非零向量

a

，

b

，則“

a

⊥

b

”是“

a

•

b

=0”的充要條件．
其中真命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①利用函數的周期性和對稱性判斷．②利用指數函數的性質判斷．③利用基本不等式證明．④利用向量垂直的充要條件判斷．

解答：解：①滿足f（1+x）=f（1-x），則函數關于x=1對稱，所以①錯誤．
②因為a⁰=1，所以所有指數函數的圖象都經過點（0，1），所以②正確．
③

1

a

+

4

b

=(

1

a

+

4

b

)(a+b)=1+4+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a ? 4a b

=9，當且僅當

b

a

=

4a

b

，即b=2a=

1

2

時取等號，所以③正確．
④因為兩個非零向量

a

，

b

，所以“

a

⊥

b

”是“

a

•

b

=0”的充要條件，所以④正確．
故選C．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，涉及的知識點較多，綜合性較強．