Question

已知圓C：x²＋y²－4x－14y＋45＝0及點Q(－2，3)．

(1)若點P(m，m＋1)在圓C上，求PQ的斜率；

(2)若點M是圓C上任一點，則|MQ|的最大值、最小值分別是多少？

(3)若N(a，b)滿足關系：a²＋b²－4a－14b＋45＝0，求的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由于P(m，m＋1)在圓C上，所以有m2＋(m＋1)2－4m－14(m＋1)＋45＝0，解之，得m＝4，∴P(4，5)，從而kPQ＝． 　　(2)圓C的方程變為(x－2)2＋(y－7)2＝8．由于Q(－2，3)在圓C外部，且，如圖，由平面幾何知識可知|MQ|max＝|QC|＋r＝，|MQ|min＝|QC|－r＝． 　　(3)由N(a，b)滿足的條件可知，N(a，b)在圓C上．又表示N(a，b)與Q(－2，3)兩點連線的斜率．由圖可知，t的最大值為過Q(－2，3)的圓C的兩切線之一的斜率．設切線方程為y－3＝k(x＋2)，由圓心C(2，7)到其距離為，知k＝2±．所以tmax＝2＋． 　　思路解析：(1)將P點代入圓C的方程，可得出m的值． 　　(2)運用數形結合考慮，記圓心為C，則|MQ|max＝|QC|＋r，|MQ|min＝|QC|－r． 　　(3)考慮到具有幾何意義，即表示圓C上的動點(a，b)與定點(－2，3)連線的斜率，故可用數形結合的方法．