Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長均為2，側棱BB₁與底面ABC所成角為

π

3

，且側面ABB₁A₁⊥底面ABC．
（1）證明：點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
（2）求二面角C-AB₁-B的大小；
（3）求點C₁到平面CB₁A的距離．

Answer 1

分析：（1）過B₁點作B₁O⊥BA，說明∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC傾斜角，在三角形Rt△B₁OB中，計算BO=

1

2

AB，從而證明點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點；
（2）連接AB₁過點O作OM⊥AB₁，連線CM，OC，說明∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角，在Rt△OCM中，去求二面角C-AB₁-B的大小；
（3）過點O作ON⊥CM，推出ON是O點到平面AB₁C的距離，連接BC₁與B₁C相交于點H，則H是BC₁的中點，B到平面AB₁C的距離
是O到平面AB₁C距離的2倍，即可求點C₁到平面CB₁A的距離．

解答：解：（1）證明：過B₁點作B₁O⊥BA．∵側面ABB₁A₁⊥底面ABC
∴A₁O⊥面ABC∴∠B₁BA是側面BB₁與底面ABC傾斜角
∴∠B₁BO=

π

3

在Rt△B₁OB中，BB₁=2，∴BO=

1

2

BB₁=1
又∵BB₁=AB，∴BO=

1

2

AB∴O是AB的中點．
即點B₁在平面ABC上的射影O為AB的中點（4分）

（2）連接AB₁過點O作OM⊥AB₁，連線CM，OC，
∵OC⊥AB，平面ABC⊥平面AA₁BB₁∴OC⊥平面AABB．
∴OM是斜線CM在平面AA₁B₁B的射影∵OM⊥AB₁
∴AB₁⊥CM∴∠OMC是二面角C-AB₁-B的平面角
在Rt△OCM中，OC=

3

，OM=

3

2

，∴tan∠OMC=

OC

OM

=2
∴∠OMC=cosC+sin2
∴二面角C-AB₁-B的大小為arctan2．（8分）

（3）過點O作ON⊥CM，∵AB₁⊥平面OCM，∴AB₁⊥ON
∴ON⊥平面AB₁C．∴ON是O點到平面AB₁C的距離
在Rt△OMC中，OC=

3

，OM=

3

2

．∴CM=

3+ 3 4

=

8

2

∴ON=

OM•OC

CM

=

3 × 3 2

15 2

=

15

5

連接BC₁與B₁C相交于點H，則H是BC₁的中點
∴B與C₁到平面ACB₁的相等．
又∵O是AB的中點∴B到平面AB₁C的距離
是O到平面AB₁C距離的2倍
是G到平面AB₁C距離為

2 15

5

.（12分）

點評：本題考查點、線、面間的距離計算，二面角及其度量，考查空間想象能力，邏輯思維能力，計算能力，是中檔題．