Question

已知曲線C1：

|x|

a

+

|y|

b

=1(a＞b＞0)所圍成的封閉圖形的面積為4

5

，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為

2 5

3

．記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓．
（Ⅰ）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)AB是過(guò)橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線．M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)．
（1）若|MO|=λ|OA|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（2）若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用封閉圖形的面積為4

5

，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為

2 5

3

，求出a、b的值，待定系數(shù)法寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（Ⅱ）（1）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx，代入橢圓的方程，用k表示|OA|的平方，
由|MO|²=λ²|OA|²，得到|MO|²．再用k表示直線l的方程，并解出k，把解出的k代入|MO|² 的式子，消去k得到
M的軌跡方程．當(dāng)k=0或不存在時(shí)，軌跡方程仍成立．
（2）當(dāng)k存在且k≠0時(shí)，由（1）得

x

2 A

=

20

4+5k2

，

y

2 A

=

20k2

4+5k2

，同理求出點(diǎn)M的橫坐標(biāo)的平方、縱坐標(biāo)的平方，
計(jì)算出AB的平方，計(jì)算出|MO|²，可求出三角形面積的平方，使用基本不等式求出面積的最小值，再求出當(dāng)k不存在
及k=0時(shí)三角形的面積，比較可得面積的最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得

2ab=4 5 ab a2+b2 = 2 5 3

，又a＞b＞0，解得  a²=5，b²=4．
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為   

x2

5

+

y2

4

=1．
（Ⅱ）（1）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為y=kx（k≠0），A（x_A，y_A）．
解方程組

x2 5 + y2 4 =1 y=kx

得

x

2 A

=

20

4+5k2

，

y

2 A

=

20k2

4+5k2

，
所以|OA|2=

x

2 A

+

y

2 A

=

20

4+5k2

+

20k2

4+5k2

=

20(1+k2)

4+5k2

．
設(shè)M（x，y），由題意知|MO|=λ|OA|（λ≠0），
所以|MO|²=λ²|OA|²，即x2+y2=λ2

20(1+k2)

4+5k2

，
因?yàn)閘是AB的垂直平分線，所以直線l的方程為y=-

1

k

x，即k=-

x

y

，
因此x2+y2=λ2

20(1+ x2 y2 )

4+5• x2 y2

=λ2

20(x2+y2)

4y2+5x2

，
又x²+y²≠0，所以5x²+4y²=20λ²，故

x2

4

+

y2

5

=λ2．
又當(dāng)k=0或不存在時(shí)，上式仍然成立．
綜上所述，M的軌跡方程為

x2

4

+

y2

5

=λ2(λ≠0)．
（2）當(dāng)k存在且k≠0時(shí)，由（1）得

x

2 A

=

20

4+5k2

，

y

2 A

=

20k2

4+5k2

，
由

x2 5 + y2 4 =1 y=- 1 k x

解得

x

2 M

=

20k2

5+4k2

，

y

2 M

=

20

5+4k2

，
所以|OA|2=

x

2 A

+

y

2 A

=

20(1+k2)

4+5k2

，|AB|2=4|OA|2=

80(1+k2)

4+5k2

，|OM|2=

20(1+k2)

5+4k2

．
由于

S

2 △AMB

=

1

4

|AB|2•|OM|2=

1

4

×

80(1+k2)

4+5k2

×

20(1+k2)

5+4k2

=

400(1+k2)2

(4+5k2)(5+4k2)

≥

400(1+k2)2

( 4+5k2+5+4k2 2 )2

=

1600(1+k2)2

81(1+k2)2

=(

40

9

)2，
當(dāng)且僅當(dāng)4+5k²=5+4k²時(shí)等號(hào)成立，即k=±1時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)△AMB面積的最小值是S△AMB=

40

9

．
當(dāng)k=0，S△AMB=

1

2

×2

5

×2=2

5

＞

40

9

．
當(dāng)k不存在時(shí)，S△AMB=

1

2

×

5

×4=2

5

＞

40

9

．
綜上所述，△AMB的面積的最小值為

40

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，參數(shù)法求軌跡方程，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用．